Математика (ЕН.01)

Площадью фигуры называется положительная величина, определенная для каждой фигуры так, что:

1. Равные фигуры имеют равные площади.
2. Если фигура составлена из конечного числа фигур, то ее площадь равна сумме их площадей.

Условимся площадь фигуры обозначать S(F). Чтобы измерить площад фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, за еденицу площади принимают площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку e, т.е. отрезку, выбранному в качестве единицы длины.

Измерение площади состоит в сравнении площади данной фигуры с площадью единичного квадрата е². Результатом этогно сравнения является такое число х, что S(F) =xe². x – численное значение площади при выбранной единице площади.

Одним из приемов, опирающихся непосредственно на определение площади, является измерение площади, является измерение площади с помощью палетки – сетки квадратов, нанесенной на прозрачный материал.

Допустим, что на фигуру F, площадь которой нужно измерить, наложена сетка квадратов со стороной e. Тогда по отношению к этой фигуре можно выделить квадраты 2х видов:

• квадраты, которые целиком лежат внутри фигуры F;
• квадраты, через которые проходит контур фигуры и которые лежат частью вне, частью внутри фигуры F.

Пусть квадратов первого типа окажется m, а квадратов второго типа – n. Тогда, очевидно, площадь фигуры F будет удовлетворять условию me²<S(F)<(m+n)e². Числа m и m+n будут приближенными численными значениями измеряемой площади: первое число с недостатком, второе – с избытком.

Чтобы получить более точный результат, можно уплотнить первоначальную сеть квадратов, разделив каждый из них на более мелкие квадраты. Можно, например, построить сеть квадратов со стороной е₁ = 1/10 ∙ е. В результате получим другие приближенные значения площади фигуры F, причем с большей точностью. Описанный процесс модно продолжить.

Прием измерения площадей фигур при помощи палетки имеет ограниченное применение, его можно использовать лишь для небольших площадей. Поэтому в математике с момента ее возникновения шел поиск косвенных путей измерения площади посредством измерения измерения длин сторон, высот и других отрезков, принадлежащих фигуре. Например, численное значение площади прямоугольника находят, перемножив численные значения длин его сторон.

Некоторые свойства площадей:

1. Если фигуры равны, то равны численные значения их площадей (при одной и той же единице площади).

Фигуры, у которых площади равны, называют равновеликими.

2. Численное значение площа­ди фигуры равно сумме численных значений площадей ее составных частей (при одной и той же единице площади).

3. При замене единицы площади численное значение площади увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.