Скалярные величины

1. Длина отрезка и ее измерение

1. Длина отрезка и ее измерение

Длиной отрезка называется положительная величина, опреде­ленная для каждого отрезка так, что:

1. Равные отрезки имеют равные длины.
2. Если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков.

Процесс измерения отрезка а:

• выбирают отрезок е и принимают его за единицу длины;
• на отрезке а откладывают от одного из его концов отрезки равные е, пока это возможно;
• если отрезки отложились n раз, и конец последнего совпал с концом отрезка а, то говорят, что значение длины отрезка а есть натуральное число п.

а = п ∙ е

• если отрезок е отложили n раз, и остался остаток, мень­ший е, то на нем откладываются отрезки равные е₁ = 1/10 ∙ е и т.д.

Таким образом, значение длины любого отрезка можно пред­ставить в виде бесконечной десятичной дроби, т.е. действительного числа.

Некоторые свойства длин отрезков:

1. При выбранной единице длины длина любого отрезка выражается действительным числом, и для каждого положительного действительного числа есть отрезок, длина которого выражается этим числом.
2. Если два отрезка равны, то равны численные значения их длин, и обратно: если равны численные значения длин отрезков, то равны и сами отрезки.
3. При замене единицы длины численное значение длины уве­личивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая еди­ница меньше (больше) старой.

Например, 1 м = 100 см, т.к. 1 см в 100 раз меньше метра.

Так, выполняя задание: «Начерти два отрезка: первый длиной 1 дм, а второй на 1 см длиннее», учащиеся неявно пользуются тем, что для каждого положительного числа есть отрезок, длина которого выражается этим числом. Отрезков длиной 1 дм существует бесконечное множество, но все они равны между собой.

Второй отрезок, который на 1 см длиннее первого, можно построить по-разному. Например, на луче ОА можно сначала отложить отрезок ОВ длиной 1 дм, а затем от точки В отложить отрезок ВА₁, длина которого 1 см.

А можно сначала найти сумму 1дм + 1 см = 10 см +1 см = (10+1) см = 11 см, а затем построить отрезок длиной 11 дм.

Выполнение задания «Начерти два отрезка: длина первого 6 см, а второй в 2 раза длиннее. Чему равна длина второго отрезка?» связано с умножением длины на число. Задание может быть выполнено различными способами.

1 способ. Строят отрезок длиной 6 см, а затем на луче ОА последовательно откладывают два равных отрезка длиной 6 см. Полученный отрезок ОА является искомым, его длина равна 2∙6 см= 12 см.

2 способ. Находят длину второго отрезка: 2∙6 см= 12 см, а затем строят 2 отрезка: один длиной 6 см, а другой длиной 12 см.

2. Площадь фигуры и ее измерение

Площадью фигуры называется положительная величина, определенная для каждой фигуры так, что:

1. Равные фигуры имеют равные площади.
2. Если фигура составлена из конечного числа фигур, то ее площадь равна сумме их площадей.

Условимся площадь фигуры обозначать S(F). Чтобы измерить площад фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, за еденицу площади принимают площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку e, т.е. отрезку, выбранному в качестве единицы длины.

Измерение площади состоит в сравнении площади данной фигуры с площадью единичного квадрата е². Результатом этогно сравнения является такое число х, что S(F) =xe². x – численное значение площади при выбранной единице площади.

Одним из приемов, опирающихся непосредственно на определение площади, является измерение площади, является измерение площади с помощью палетки – сетки квадратов, нанесенной на прозрачный материал.

Допустим, что на фигуру F, площадь которой нужно измерить, наложена сетка квадратов со стороной e. Тогда по отношению к этой фигуре можно выделить квадраты 2х видов:

• квадраты, которые целиком лежат внутри фигуры F;
• квадраты, через которые проходит контур фигуры и которые лежат частью вне, частью внутри фигуры F.

Пусть квадратов первого типа окажется m, а квадратов второго типа – n. Тогда, очевидно, площадь фигуры F будет удовлетворять условию me²<S(F)<(m+n)e². Числа m и m+n будут приближенными численными значениями измеряемой площади: первое число с недостатком, второе – с избытком.

Чтобы получить более точный результат, можно уплотнить первоначальную сеть квадратов, разделив каждый из них на более мелкие квадраты. Можно, например, построить сеть квадратов со стороной е₁ = 1/10 ∙ е. В результате получим другие приближенные значения площади фигуры F, причем с большей точностью. Описанный процесс модно продолжить.

Прием измерения площадей фигур при помощи палетки имеет ограниченное применение, его можно использовать лишь для небольших площадей. Поэтому в математике с момента ее возникновения шел поиск косвенных путей измерения площади посредством измерения измерения длин сторон, высот и других отрезков, принадлежащих фигуре. Например, численное значение площади прямоугольника находят, перемножив численные значения длин его сторон.

Некоторые свойства площадей:

1. Если фигуры равны, то равны численные значения их площадей (при одной и той же единице площади).

Фигуры, у которых площади равны, называют равновеликими.

2. Численное значение площа­ди фигуры равно сумме численных значений площадей ее составных частей (при одной и той же единице площади).

3. При замене единицы площади численное значение площади увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

3. Масса тела и ее измерение

Масса - одна из основных физических величин. Понятие массы тела тесно связано с понятием веса-силы, с которой тело притягивается Землёй. Поэтому вес тела зависит не только от самого тела. Например, он различен на разных широтах: на полюсе тело весит на 0,5 % больше, чем на экваторе. Однако при своей изменчивости вес обладает особенностью: отношение весов двух тел в любых условиях остаётся неизменным. При измерении веса тела путём сравнения его с весом другого выявляется новое свойство тел, которое называется массой. Представим, что на одну из чашек рычажных весов положили какое-нибудь тело, а на другую чашку положили второе тело b. При этом возможны случаи:

1) Вторая чашка весов опустилась, а первая поднялась так, что они оказались в результате на одном уровне. В этом случае говорят, что весы находятся в равновесии, а тела а и b имеют равные массы.

2) Вторая чашка весов так и осталась выше первой. В этом случае говорят, что масса тела а больше массы тела b.

3) Вторая чашка опустилась, а первая поднялась и стоит выше второй. В этом случае говорят, что масса тела а меньше тела b.

С математической точки зрения масса - это такая положительная величина, которая обладает свойствами:

1) Масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;

2) Масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел, вместе взятых равна сумме их масс.

Если сравнить данное определение с определениями длины и площади, то увидим, что масса характеризуется теми же свойствами, что длина и площадь, но задана на множестве физических тел.

Измерение массы производится с помощью весов. Происходит это следующим образом. Выбирают тело e, масса которого принимается за единицу. Предполагается, что можно взять и доли этой массы. Например, если за единицу массы взят килограмм, то в процессе измерения можно использовать такую его долю, как грамм: 1г= 0,01кг.

На одну чашку весов кладут тело, массу тела кого того измеряют, а на другую – тела, выбранные в качестве единицы массы, то есть гири. Этих гирь должно быть столько, чтобы они уравновесили первую чашку весов. В результате взвешивания получается численное значение массы данного тела при выбранной единице массы.

Для численных значений массы справедливы все утверждения, сформулированные для длины, т.е. сравнение масс, действия над ними сводятся к сравнению и действиям над численными значениями масс (при одной и той же единице массы).

4. Промежутки времени и их измерение

Понятие времени более сложное, чем понятие длины, площа­ди, массы. В математике и физике время рассматривают как ска­лярную величину, ее свойства похожи на рассмотренные ранее:

1. Промежутки времени можно сравнивать. («Красная Шапочка затратила больше времени па дорогу до бабушки, чем Серый Волк».)
2. Промежутки времени можно складывать и вычитать. («Маша один час вырезала фигуры и один час их наклеивала. Сколько всего времени она истратила на работу?»)
3. Промежутки времени можно умножать на число. («7 суток – это неделя»).

Промежутки времени измеряют. Процесс измерения времени особенный, его нельзя измерить откладыванием одной и той же мерки, как, например, длину. Поэтому единицей времени должен быть регулярно повторяющийся процесс. Такие единицы време­ни, как год, сутки, были взяты из природы, а час, минута, секунда придуманы человеком.

5. Зависимость между величинами

Понятие величины, принимающей различные численные зна­чения, является отражением изменяемости окружающей нас дей­ствительности.

Математика изучает взаимосвязи между различными величинами. Из школьного курса нам известны формулы, связывающие различные величины:

• площадь квадрата и длину его стороны: S = а²,
• объем куба и длину его ребра: V = а³,
• расстояние, скорость, время: S = V • t,
• стоимость, цену и количество: М = с • k и др.

Дошкольники не изучают точные связи, но встречаются со свойствами этих зависимостей. Например:

• чем длиннее путь, тем больше времени необходимо затра­тить,
• чем больше цена, тем больше стоимость товара,
• у большего квадрата сторона длиннее.

Эти свойства используются детьми в рассуждениях и помога­ют им правильно делать выводы.