Математика (ЕН.01)

C теоретико-множественной точки зрения деление чисел оказывается связанным с разбиением конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и с его помощью решаются две задачи: отыскание числа элементов в каждом подмножестве разбиения (деление на равные части) и отыскание числа таких подмножеств (деление по содержанию).

Таким образом, если а = п(А) и множество А разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если:

• b  - число элементов в каждом подмножестве, то частное а : b  - это число таких подмножеств;
• b  — число подмножеств, то частное а : b  - это число элементов в каждом подмножестве.

Взаимосвязь деления натуральных чисел с разбиением конечных множеств на классы позволяет обосновывать выбор действия деления при решении задач, например, такого вида: «12 карандашей разложи­ли в 3 коробки поровну. Сколько карандашей в каждой коробке?»

В задаче рассматривается множество, в котором 12 элементов. Это множество разбивается на 3 равночисленных подмножества. Требуется узнать число элементов в каждом таком подмножестве. Это число, как установлено выше, можно найти при помощи деления - 12:3. Вы­числив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи - в каждой коробке по 4 карандаша.

Если дана задача: «В коробке 12 карандашей, их надо разложить в коробки, по 3 карандаша в каждую. Сколько коробок понадобится?», - то для решения выбор действия деления можно обосновать следующим образом. Множество из 12 элементов разбивается на подмножества, в каждом из которых по 3 элемента. Требуется узнать число таких подмножеств. Его можно найти при помощи деления - 12:3. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос зада­чи - понадобится 4 коробки.

С теоретико-множественной точки зрения можно рассмотреть и смысл отношений «больше в» и «меньше в», с которыми младшие школьники встречаются при решении текстовых задач.

Если же а = nА), b  = n(В) и известно, что «а меньше b  в с раз», то поскольку а < b, то в множестве В можно выделить собственное подмножество, равномощное множеству А, но так как а меньше b в с раз, то множество В можно разбить на с подмножеств, равномощных множеству.

Так как с - это число подмножеств в разбиении множества В, содержащего b  элементов, а в каждом подмножестве - а элементов, то с = b  : а.

Теоретико-множественным смыслом отношения «а больше (меньше) b в с раз» можно воспользоваться при обосновании выбора действий при решении задач. Рассмотрим, например, такую задачу: «На участке растут 3 ели, а берез      в 2 раза больше. Сколько берез растут на участке?»

В задаче речь идет о двух множествах: множестве елей (А) и множестве берез (В). Известно, что n (А) = 3 и что в множестве В элементов в 2 раза больше, чем в множестве А. Требуется найти число элементов в множестве В, т.е. n (В).

Так как в множестве В элементов в 2 раза больше, чем в множестве А, то множество В можно разбить на 2 подмножества, равномощных множеству А (См. рисунок). Поскольку в каждом из подмножеств содер­жится по 3 элемента, то всего в множестве В будет 3+3 или 3 × 2 элементов. Выполнив вычисления, получаем ответ на вопрос задачи: на участке растет 6 берез.