Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля

5. Теоретико-множественный смысл произведения

Определение. Если а, b - целые неотрицательные числа, то произведением а · b  называется число, удовлетворяющее следующим условиям:

1) а · b =  , еслн b > 1;

2) а · b  = а, если b  = 1;

3) а ·  b  = 0, если b  = 0.

Случаю 1) этого определения можно дать теоретико-множественную трактовку. Если множества А1, А2, ..., Аb, имеют по а элементов каждое, причем никакие два из них не пересекаются, то их объединение А1 ∪ А2 ∪ ...∪ Аb , содержит а · b элементов.

Таким образом, с теоретико-множественных позиций а · b (b > 1) представляет собой число элементов в объединении b  множеств, каждое из которых содержит по а элементов и никакие два из них не пересекаются.

а · b  =  п (А1 ∪ А2 ∪ ...∪  Аb) , если п (А1) = п (А2) = ... = п (Аb ) = а и А1, А2, ..., Аb попарно не пересекаются.

Взаимосвязь умножения натуральных чисел с объединением равночисленных попарно непересекающихся подмножеств позволяет обосновывать выбор действия умножения при решении текстовых задач.

Рассмотрим, например, такую задачу: «На одно пальто пришивают 4 пуговицы. Сколько пуговиц надо пришить на 3 таких пальто?» Выясним, почему она решается при помощи умножения.

В задаче речь идет о трех множествах, в каждом из которых 4 элемента. Требуется узнать число элементов в объединении этих трех множеств. Если    n(А1) = n(А2) = n(А3) = 4, то n(А1 ∪ А2 ∪ А3) = n(А1) + n (А2) +  n(А3) = 4 + 4 + 4 = 4 ·3. Произведение 4·3 является математической моделью данной задачи. Так как 4 ·3 = 12, то получаем ответ на вопрос: на 3 пальто надо пришить 12 пуговиц.

Можно дать другое теоретико-множественное истолкование произведения целых неотрицательных чисел. Оно связано с понятием декартова произведения множеств.

Теорема 5. Пусть А и В - конечные множества. Тогда их декартово произведение также является конечным множеством, причем выполняется равенство: п(А×В) = п(А) · п(В).

Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множествен­ной точки зрения произведение а × b целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множеств А и В, таких, что п(А) = а, п(В) = b.

а · b = п(А) · п(В) = п(А × В ).