Математика (ЕН.01)

Сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств. Например, если множество А содержит 5 элементов, а множество В -  4 элемента и пересечение множеств А и В пусто, то число элементов в их объединении равно сумме 5+4.

Теорема. Пусть А и В — конечные множества, не имеющие общих элементов. Тогда их объединение тоже конечно, причем п(АÈВ)=п(А) +п(В).

C теоретико-множественных позиций сумма натуральных чисел а и b  представляет собой число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств А и В таких, что а = п(А), b = п(В):

а + b  =  n(А) + n(В) = n(А ∪ В),  если А ∩ В = ∅.

Выясним теперь, каков теоретико-множественный смысл равенства а+0=а. Если а = n(А), 0 = n(∅), то, согласно теореме, а + 0 = n(А) + n(∅) = n(А ∪ ∅). Но, как известно, А  ∪ ∅= А, следовательно, n(А ∪ ∅) = n(А), откуда а + 0 = а.

Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет обосновывать выбор действий при решении текстовых задач определенного вида. Выясним, например, почему следую­щая задача решается при помощи сложения: «Катя нашла 3 гриба, а Маша - 4. Сколько всего грибов нашли девочки?»

В задаче рассматриваются три множества: множество А грибов Кати, множество В грибов Маши и их объединение. Требуется узнать число элементов в этом объединении, а оно находится сложением. Так как п(А) = 3, n(В) = 4 и А∩В=∅, то n(А ∪ В) = 3 + 4. Сумма 3 + 4 - это математическая модель данной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 3+4=7. Следовательно, девочки нашли 7 грибов.