Скалярные величины

1. Длина отрезка и ее измерение

1. Длина отрезка и ее измерение

Длиной отрезка называется положительная величина, опреде­ленная для каждого отрезка так, что:

1. Равные отрезки имеют равные длины.
2. Если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков.

Процесс измерения отрезка а:

• выбирают отрезок е и принимают его за единицу длины;
• на отрезке а откладывают от одного из его концов отрезки равные е, пока это возможно;
• если отрезки отложились n раз, и конец последнего совпал с концом отрезка а, то говорят, что значение длины отрезка а есть натуральное число п.

а = п ∙ е

• если отрезок е отложили n раз, и остался остаток, мень­ший е, то на нем откладываются отрезки равные е₁ = 1/10 ∙ е и т.д.

Таким образом, значение длины любого отрезка можно пред­ставить в виде бесконечной десятичной дроби, т.е. действительного числа.

Некоторые свойства длин отрезков:

1. При выбранной единице длины длина любого отрезка выражается действительным числом, и для каждого положительного действительного числа есть отрезок, длина которого выражается этим числом.
2. Если два отрезка равны, то равны численные значения их длин, и обратно: если равны численные значения длин отрезков, то равны и сами отрезки.
3. При замене единицы длины численное значение длины уве­личивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая еди­ница меньше (больше) старой.

Например, 1 м = 100 см, т.к. 1 см в 100 раз меньше метра.

Так, выполняя задание: «Начерти два отрезка: первый длиной 1 дм, а второй на 1 см длиннее», учащиеся неявно пользуются тем, что для каждого положительного числа есть отрезок, длина которого выражается этим числом. Отрезков длиной 1 дм существует бесконечное множество, но все они равны между собой.

Второй отрезок, который на 1 см длиннее первого, можно построить по-разному. Например, на луче ОА можно сначала отложить отрезок ОВ длиной 1 дм, а затем от точки В отложить отрезок ВА₁, длина которого 1 см.

А можно сначала найти сумму 1дм + 1 см = 10 см +1 см = (10+1) см = 11 см, а затем построить отрезок длиной 11 дм.

Выполнение задания «Начерти два отрезка: длина первого 6 см, а второй в 2 раза длиннее. Чему равна длина второго отрезка?» связано с умножением длины на число. Задание может быть выполнено различными способами.

1 способ. Строят отрезок длиной 6 см, а затем на луче ОА последовательно откладывают два равных отрезка длиной 6 см. Полученный отрезок ОА является искомым, его длина равна 2∙6 см= 12 см.

2 способ. Находят длину второго отрезка: 2∙6 см= 12 см, а затем строят 2 отрезка: один длиной 6 см, а другой длиной 12 см.